Rezolvați 2(x-6)+37=41+x^2

$$2(x-6)+37=41+ { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\sqrt{15}i+1\approx 1-3,872983346i$$

$$x=1+\sqrt{15}i\approx 1+3,872983346i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x-6.

$$2x-12+37=41+x^{2}$$

Adunați -12 și 37 pentru a obține 25.

$$2x+25=41+x^{2}$$

Scădeți 41 din ambele părți.

$$2x+25-41=x^{2}$$

Scădeți 41 din 25 pentru a obține -16.

$$2x-16=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x-16-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+2x-16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 2 și c cu -16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-64}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 4 cu -64.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-60}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -60.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{15}i}{-2}$$

Împărțiți -2+2i\sqrt{15} la -2.

$$x=-\sqrt{15}i+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{15}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{15} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-2}{-2}$$

Împărțiți -2-2i\sqrt{15} la -2.

$$x=1+\sqrt{15}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\sqrt{15}i+1 x=1+\sqrt{15}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x-6.

$$2x-12+37=41+x^{2}$$

Adunați -12 și 37 pentru a obține 25.

$$2x+25=41+x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x+25-x^{2}=41$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$2x-x^{2}=41-25$$

Scădeți 25 din 41 pentru a obține 16.

$$2x-x^{2}=16$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=16$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{16}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{16}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{-1}$$

Împărțiți 16 la -1.

$$x^{2}-2x=-16$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=-16+1$$

Adunați -16 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=-15$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-15$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-15}$$

Simplificați.

$$x-1=\sqrt{15}i x-1=-\sqrt{15}i$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=1+\sqrt{15}i x=-\sqrt{15}i+1$$