Rezolvați 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -2 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{2±6i}{4} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Împărțiți 2+6i la 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{2±6i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 6i din 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Împărțiți 2-6i la 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați -\frac{5}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Factor z^{2}-z+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$