Rezolvați 2y^2-y+2=0

$$2 y ^ { 2 } - y + 2 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}\approx 0,25+0,968245837i$$

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}\approx 0,25-0,968245837i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -1 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu -16.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -15.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu i\sqrt{15}.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{15} din 1.

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$2y^{2}-y+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2y^{2}-y=-2$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2y^{2}-y}{2}=-\frac{2}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-1$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{16}.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Factor y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} y-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$