Rezolvați 2y^2-9y-18

$$2 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

Descompunere în factori

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2y^{2}+ay+by-18. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-12 b=3$$

Rescrieți 2y^{2}-9y-18 ca \left(2y^{2}-12y\right)+\left(3y-18\right).

$$\left(2y^{2}-12y\right)+\left(3y-18\right)$$

Factor 2y în primul și 3 în al doilea grup.

$$2y\left(y-6\right)+3\left(y-6\right)$$

Scoateți termenul comun y-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}-9y-18=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 2}$$

Adunați 81 cu 144.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$y=\frac{9±15}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{9±15}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{9±15}{4} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 15.

$$y=\frac{24}{4}$$

Împărțiți 24 la 4.

$$y=6$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{9±15}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din 9.

$$y=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 6 și x_{2} cu -\frac{3}{2}.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{3}{2} cu y găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\times \frac{2y+3}{2}$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2y^{2}-9y-18=\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

Evaluați

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$