Rezolvați 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 2 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{3} la 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{3} din -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{3} la 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Factor y^{2}+y+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$