Rezolvați 2y^2+10y=-9

$$2 y ^ { 2 } + 10 y = - 9$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{\sqrt{7}-5}{2}\approx -1,177124344$$

$$y=\frac{-\sqrt{7}-5}{2}\approx -3,822875656$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2y^{2}+10y=-9$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$2y^{2}+10y-\left(-9\right)=-9-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2y^{2}+10y-\left(-9\right)=0$$

Scădeți -9 din 0.

$$2y^{2}+10y+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 10 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-8\times 9}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 9.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-72}}{2\times 2}$$

Adunați 100 cu -72.

$$y=\frac{-10±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$y=\frac{-10±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$y=\frac{-10±2\sqrt{7}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-10±2\sqrt{7}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}-10}{4}$$

Împărțiți -10+2\sqrt{7} la 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}-5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-10±2\sqrt{7}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din -10.

$$y=\frac{-2\sqrt{7}-10}{4}$$

Împărțiți -10-2\sqrt{7} la 4.

$$y=\frac{-\sqrt{7}-5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{7}-5}{2} y=\frac{-\sqrt{7}-5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+10y=-9$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2y^{2}+10y}{2}=-\frac{9}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$y^{2}+\frac{10}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$y^{2}+5y=-\frac{9}{2}$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+5y+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+5y+\frac{25}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{25}{4}$$

Adunați -\frac{9}{2} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+5y+\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$$

Factor y^{2}+5y+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} y+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{7}-5}{2} y=\frac{-\sqrt{7}-5}{2}$$