Rezolvați 2y+y^2-6=0

$$2 y + y ^ { 2 } - 6 = 0$$

Rezolvați pentru y (complex solution)

$$y=\sqrt{7}-1\approx 1,645751311$$

$$y=-\left(\sqrt{7}+1\right)\approx -3,645751311$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 2 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-6\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+24}}{2}$$

Adunați 4 cu 24.

$$y=\frac{-2±\sqrt{28}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}-2}{2}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{7} la 2.

$$y=\sqrt{7}-1$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{7}-2}{2}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{7} la 2.

$$y=-\sqrt{7}-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}+2y-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}+2y=-\left(-6\right)$$

Scădeți -6 din 0.

$$y^{2}+2y=6$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+2y+1^{2}=6+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y^{2}+2y+1=6+1$$

Adunați 6 cu 1.

$$y^{2}+2y+1=7$$

Factor y^{2}+2y+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=7$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Simplificați.

$$y+1=\sqrt{7} y+1=-\sqrt{7}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$

Rezolvați pentru y

$$y=\sqrt{7}-1\approx 1,645751311$$

$$y=-\sqrt{7}-1\approx -3,645751311$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 2 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-6\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+24}}{2}$$

Adunați 4 cu 24.

$$y=\frac{-2±\sqrt{28}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}-2}{2}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{7} la 2.

$$y=\sqrt{7}-1$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-2±2\sqrt{7}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{7}-2}{2}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{7} la 2.

$$y=-\sqrt{7}-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+2y-6=0$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}+2y-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}+2y=-\left(-6\right)$$

Scădeți -6 din 0.

$$y^{2}+2y=6$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+2y+1^{2}=6+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y^{2}+2y+1=6+1$$

Adunați 6 cu 1.

$$y^{2}+2y+1=7$$

Factor y^{2}+2y+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=7$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Simplificați.

$$y+1=\sqrt{7} y+1=-\sqrt{7}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$y=\sqrt{7}-1 y=-\sqrt{7}-1$$