Rezolvați 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x-3y=-2$$

Adunați 3y la ambele părți ale ecuației.

$$2x=3y-2$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Înlocuiți x cu \frac{3y}{2}-1 în cealaltă ecuație, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Înmulțiți 4 cu \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Adunați 6y cu y.

$$7y-4=2A$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$7y=2A+4$$

Se împart ambele părți la 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Înlocuiți y cu \frac{4+2A}{7} în x=\frac{3}{2}y-1. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Înmulțiți \frac{3}{2} cu \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Adunați -1 cu \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Pentru a egala 2x și 4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Simplificați.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Scădeți pe 8x+2y=4A din 8x-12y=-8 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Adunați 8x cu -8x. Termenii 8x și -8x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Adunați -12y cu -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Adunați -8 cu -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Se împart ambele părți la -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Înlocuiți y cu \frac{4+2A}{7} în 4x+y=2A. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Scădeți \frac{4+2A}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$