Rezolvați 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x-3y+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$2x-3y=-10$$

Adunați 3y la ambele părți ale ecuației.

$$2x=3y-10$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Înlocuiți x cu \frac{3y}{2}-5 în cealaltă ecuație, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Înmulțiți 5 cu \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Adunați \frac{15y}{2} cu -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Adunați -25 cu 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Adunați 21 la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{13}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=\frac{42}{13}$$

Înlocuiți y cu \frac{42}{13} în x=\frac{3}{2}y-5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Înmulțiți \frac{3}{2} cu \frac{42}{13} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Adunați -5 cu \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Pentru a egala 2x și 5x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 5 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Simplificați.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Scădeți pe 10x-2y+8=0 din 10x-15y+50=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Adunați 10x cu -10x. Termenii 10x și -10x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Adunați -15y cu 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Adunați 50 cu -8.

$$-13y+42=0$$

Scădeți 42 din ambele părți ale ecuației.

$$-13y=-42$$

Se împart ambele părți la -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Înlocuiți y cu \frac{42}{13} în 5x-y+4=0. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Adunați -\frac{42}{13} cu 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Scădeți \frac{10}{13} din ambele părți ale ecuației.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$