Rezolvați 2x^2-x-36=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-36. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -72 de produs.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-9 b=8$$

Rescrieți 2x^{2}-x-36 ca \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-9=0 și x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -1 și c cu -36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±17}{4} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 17.

$$x=\frac{18}{4}$$

Reduceți fracția \frac{18}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±17}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din 1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Adunați 36 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Scăderea -36 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

Scădeți -36 din 0.

$$2x^{2}-x=36$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Împărțiți 36 la 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Adunați 18 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Factorul x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$