Rezolvați 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 2, b cu -1 și c cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{1±3}{4} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-1 și x+\frac{1}{2} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-1 este pozitiv și x+\frac{1}{2} este negativ.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x+\frac{1}{2} este pozitiv și x-1 este negativ.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$