Rezolvați 2x^2-9x=-4

$$2 x ^ { 2 } - 9 x = - 4$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 4 la ambele părți.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=2\times 4=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-8 b=-1$$

Rescrieți 2x^{2}-9x+4 ca \left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right)$$

Factor 2x în primul și -1 în al doilea grup.

$$2x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(2x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și 2x-1=0.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-9x=-4$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-9x-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-9x-\left(-4\right)=0$$

Scădeți -4 din 0.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -9 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 4}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 2}$$

Adunați 81 cu -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{9±7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±7}{4} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 7.

$$x=\frac{16}{4}$$

Împărțiți 16 la 4.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±7}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x=-4$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-2$$

Împărțiți -\frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-2+\frac{81}{16}$$

Adunați -2 cu \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adunați \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$