Rezolvați 2x^2-9x+5=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3,850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0,649218941$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -9 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Adunați 81 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{41} din 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Adunați -\frac{5}{2} cu \frac{81}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Adunați \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$