Rezolvați 2x^2-8x-24=0

$$2 x ^ { 2 } - 8 x - 24 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}-4x-12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-6 b=2$$

Rescrieți x^{2}-4x-12 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x+2=0.

$$x=6 x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -8 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -24.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 2}$$

Adunați 64 cu 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±16}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{8±16}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±16}{4} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 16.

$$x=\frac{24}{4}$$

Împărțiți 24 la 4.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±16}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din 8.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Împărțiți -8 la 4.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-8x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-8x=-\left(-24\right)$$

Scădeți -24 din 0.

$$2x^{2}-8x=24$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{24}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x^{2}-4x=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$x^{2}-4x=12$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=12+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=12+4$$

Adunați 12 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=16$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x-2=4 x-2=-4$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-2$$