Rezolvați 2x^2-7x-2=4x+5

$$2 x ^ { 2 } - 7 x - 2 = 4 x + 5$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 11}{4} \approx 6,076033674$$

$$x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}\approx -0,576033674$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 4x din ambele părți.

$$2x^{2}-7x-2-4x=5$$

Combinați -7x cu -4x pentru a obține -11x.

$$2x^{2}-11x-2=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$2x^{2}-11x-2-5=0$$

Scădeți 5 din -2 pentru a obține -7.

$$2x^{2}-11x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -11 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+56}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu 56.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{177}}{2\times 2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{177}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{177}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{177}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu \sqrt{177}.

$$x=\frac{\sqrt{177}+11}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{177}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{177} din 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{177}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 4x din ambele părți.

$$2x^{2}-7x-2-4x=5$$

Combinați -7x cu -4x pentru a obține -11x.

$$2x^{2}-11x-2=5$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$2x^{2}-11x=5+2$$

Adunați 5 și 2 pentru a obține 7.

$$2x^{2}-11x=7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{7}{2}$$

Împărțiți -\frac{11}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{7}{2}+\frac{121}{16}$$

Adunați \frac{7}{2} cu \frac{121}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{177}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{177}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{177}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{177}}{4}$$

Adunați \frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{177}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{177}}{4}$$