Rezolvați 2x^2-60x-3600=0

$$2 x ^ { 2 } - 60 x - 3600 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-30$$

$$x=60$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}-30x-1800=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-1800. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-30 ab=1\left(-1800\right)=-1800$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1800.

$$1,-1800 2,-900 3,-600 4,-450 5,-360 6,-300 8,-225 9,-200 10,-180 12,-150 15,-120 18,-100 20,-90 24,-75 25,-72 30,-60 36,-50 40,-45$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1800=-1799 2-900=-898 3-600=-597 4-450=-446 5-360=-355 6-300=-294 8-225=-217 9-200=-191 10-180=-170 12-150=-138 15-120=-105 18-100=-82 20-90=-70 24-75=-51 25-72=-47 30-60=-30 36-50=-14 40-45=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -30.

$$a=-60 b=30$$

Rescrieți x^{2}-30x-1800 ca \left(x^{2}-60x\right)+\left(30x-1800\right).

$$\left(x^{2}-60x\right)+\left(30x-1800\right)$$

Factor x în primul și 30 în al doilea grup.

$$x\left(x-60\right)+30\left(x-60\right)$$

Scoateți termenul comun x-60 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-60\right)\left(x+30\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-60=0 și x+30=0.

$$x=60 x=-30$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-60x-3600=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -60 și c cu -3600 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 2\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -60 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 2\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-8\left(-3600\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -3600.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600+28800}}{2\times 2}$$

Adunați 3600 cu 28800.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{32400}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 32400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±180}{2\times 2}$$

Opusul lui -60 este 60.

$$x=\frac{60±180}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{60±180}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{60±180}{4} atunci când ± este plus. Adunați 60 cu 180.

$$x=\frac{240}{4}$$

Împărțiți 240 la 4.

$$x=60$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{60±180}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 180 din 60.

$$x=-\frac{120}{4}$$

Împărțiți -120 la 4.

$$x=-30$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=60 x=-30$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-60x-3600=0$$

Adunați 3600 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-60x-3600-\left(-3600\right)=-\left(-3600\right)$$

Scăderea -3600 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-60x=-\left(-3600\right)$$

Scădeți -3600 din 0.

$$2x^{2}-60x=3600$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-60x}{2}=\frac{3600}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{2}\right)x=\frac{3600}{2}$$

Împărțiți -60 la 2.

$$x^{2}-30x=\frac{3600}{2}$$

Împărțiți 3600 la 2.

$$x^{2}-30x=1800$$

Împărțiți -30, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -15. Apoi, adunați pătratul lui -15 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=1800+\left(-15\right)^{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x^{2}-30x+225=1800+225$$

Adunați 1800 cu 225.

$$x^{2}-30x+225=2025$$

Factor x^{2}-30x+225. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-15\right)^{2}=2025$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{2025}$$

Simplificați.

$$x-15=45 x-15=-45$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$x=60 x=-30$$