Rezolvați 2x^2-6x-(7x-21)=0

$$2 x ^ { 2 } - 6 x - ( 7 x - 21 ) = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a găsi opusul lui 7x-21, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-6x-7x+21=0$$

Combinați -6x cu -7x pentru a obține -13x.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Soluția este perechea care dă suma de -13.

$$a=-7 b=-6$$

Rescrieți 2x^{2}-13x+21 ca \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-7=0 și x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a găsi opusul lui 7x-21, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-6x-7x+21=0$$

Combinați -6x cu -7x pentru a obține -13x.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -13 și c cu 21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Adunați 169 cu -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±1}{4} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Reduceți fracția \frac{14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±1}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Pentru a găsi opusul lui 7x-21, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-6x-7x+21=0$$

Combinați -6x cu -7x pentru a obține -13x.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Scădeți 21 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Împărțiți -\frac{13}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Adunați -\frac{21}{2} cu \frac{169}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$