Rezolvați 2x^2-5x+2xsqrt{x^2-5x+6}=3

$$2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 x \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 3$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

Pașii soluției

Scădeți 2x^{2}-5x din ambele părți ale ecuației.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-\left(2x^{2}-5x\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 2x^{2}-5x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-2x^{2}+5x$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Extindeți \left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$4x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{2}-5x+6} la puterea 2 și obțineți x^{2}-5x+6.

$$4x^{2}\left(x^{2}-5x+6\right)=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x^{2} cu x^{2}-5x+6.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Ridicați 3-2x^{2}+5x la pătrat.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=4x^{4}-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Scădeți 4x^{4} din ambele părți.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}-4x^{4}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Combinați 4x^{4} cu -4x^{4} pentru a obține 0.

$$-20x^{3}+24x^{2}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Adăugați 20x^{3} la ambele părți.

$$-20x^{3}+24x^{2}+20x^{3}=13x^{2}+30x+9$$

Combinați -20x^{3} cu 20x^{3} pentru a obține 0.

$$24x^{2}=13x^{2}+30x+9$$

Scădeți 13x^{2} din ambele părți.

$$24x^{2}-13x^{2}=30x+9$$

Combinați 24x^{2} cu -13x^{2} pentru a obține 11x^{2}.

$$11x^{2}=30x+9$$

Scădeți 30x din ambele părți.

$$11x^{2}-30x=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$11x^{2}-30x-9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 11x^{2}+ax+bx-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-30 ab=11\left(-9\right)=-99$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -99.

$$1,-99 3,-33 9,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-99=-98 3-33=-30 9-11=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -30.

$$a=-33 b=3$$

Rescrieți 11x^{2}-30x-9 ca \left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right)$$

Factor 11x în primul și 3 în al doilea grup.

$$11x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(11x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 11x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{11}$$

Înlocuiți x cu 3 în ecuația 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\times 3^{2}-5\times 3+2\times 3\sqrt{3^{2}-5\times 3+6}=3$$

Simplificați. Valoarea x=3 corespunde ecuației.

$$3=3$$

Înlocuiți x cu -\frac{3}{11} în ecuația 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+2\left(-\frac{3}{11}\right)\sqrt{\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+6}=3$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{3}{11} nu respectă ecuația.

$$\frac{3}{121}=3$$

Ecuația 2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3+5x-2x^{2} are o soluție unică.

$$x=3$$