Rezolvați 2x^2-3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-5 b=2$$

Rescrieți 2x^{2}-3x-5 ca \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Scoateți factorul comun x din 2x^{2}-5x.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Scoateți termenul comun 2x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-5=0 și x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -3 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±7}{4} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±7}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$