Rezolvați 2x^2-28x+98=0

$$2 x ^ { 2 } - 28 x + 98 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+49. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=1\times 49=49$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 49.

$$-1,-49 -7,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-49=-50 -7-7=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-7 b=-7$$

Rescrieți x^{2}-14x+49 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right)$$

Factor x în primul și -7 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)-7\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x-7\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(x-7\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați x-7=0.

$$x=7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -28 și c cu 98 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Ridicați -28 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 98}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 98.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-784}}{2\times 2}$$

Adunați 784 cu -784.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-28}{2\times 2}$$

Opusul lui -28 este 28.

$$x=\frac{28}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{28}{4}$$

Împărțiți 28 la 4.

$$x=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Scădeți 98 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-28x+98-98=-98$$

Scăderea 98 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-28x=-98$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{98}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{98}{2}$$

Împărțiți -28 la 2.

$$x^{2}-14x=-\frac{98}{2}$$

Împărțiți -98 la 2.

$$x^{2}-14x=-49$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-49+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x^{2}-14x+49=-49+49$$

Adunați -49 cu 49.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Factor x^{2}-14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-7=0 x-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=7$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=7$$