Rezolvați 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-9 b=-3$$

Rescrieți x^{2}-12x+27 ca \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Scoateți termenul comun x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -24 și c cu 54 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Adunați 576 cu -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±12}{4} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Împărțiți 36 la 4.

$$x=9$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±12}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=9 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Scădeți 54 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Scăderea 54 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Împărțiți -54 la 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Împărțiți -12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -6. Apoi, adunați pătratul lui -6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Adunați -27 cu 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Factor x^{2}-12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$x=9 x=3$$