Rezolvați 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 28 din ambele părți.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Scădeți 28 din -12 pentru a obține -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -20 de produs.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-5 b=4$$

Rescrieți x^{2}-x-20 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-5=0 și x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Scădeți 28 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Scăderea 28 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Scădeți 28 din -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -2 și c cu -40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±18}{4} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±18}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Împărțiți 40 la 2.

$$x^{2}-x=20$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Adunați 20 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Factorul x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-4$$