Rezolvați 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -15 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Adunați 225 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{233} din 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{15}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{225}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Adunați \frac{15}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$