Rezolvați 2x^2-15x=-7

$$2 x ^ { 2 } - 15 x = - 7$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 7 la ambele părți.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=2\times 7=14$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-14 b=-1$$

Rescrieți 2x^{2}-15x+7 ca \left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right)$$

Factor 2x în primul și -1 în al doilea grup.

$$2x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(2x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și 2x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=0$$

Scădeți -7 din 0.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -15 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\times 7}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-56}}{2\times 2}$$

Adunați 225 cu -56.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±13}{2\times 2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±13}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{15±13}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±13}{4} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 13.

$$x=\frac{28}{4}$$

Împărțiți 28 la 4.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±13}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 15.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Împărțiți -\frac{15}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{225}{16}$$

Adunați -\frac{7}{2} cu \frac{225}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{13}{4}$$

Adunați \frac{15}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$