Rezolvați 2x^2-11x-21

$$2 x ^ { 2 } - 11 x - 21$$

Descompunere în factori

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-11 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -42 de produs.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-14 b=3$$

Rescrieți 2x^{2}-11x-21 ca \left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 3 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-11x-21=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -21.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+168}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu 168.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±17}{2\times 2}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±17}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{11±17}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±17}{4} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 17.

$$x=\frac{28}{4}$$

Împărțiți 28 la 4.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±17}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 7 și x_{2} cu -\frac{3}{2}.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{3}{2} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2x^{2}-11x-21=\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Evaluați

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$