Rezolvați 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Pașii soluției

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Ridicați 2x^{2}-10x-6 la pătrat.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Extindeți \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calculați 11 la puterea 2 și obțineți 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{2}-5x} la puterea 2 și obțineți x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 121 cu x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Scădeți 121x^{2} din ambele părți.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Combinați 76x^{2} cu -121x^{2} pentru a obține -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Adăugați 605x la ambele părți.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Combinați 120x cu 605x pentru a obține 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 36 și q împarte coeficientul inițial 4. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-4$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 la x+4 pentru a obține 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 9 și q împarte coeficientul inițial 4. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=9$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 la x-9 pentru a obține 4x^{2}-20x-1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu -20 și c cu -1.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Rezolvați ecuația 4x^{2}-20x-1=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Înlocuiți x cu -4 în ecuația 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Simplificați. Valoarea x=-4 corespunde ecuației.

$$72=72$$

Înlocuiți x cu 9 în ecuația 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Simplificați. Valoarea x=9 corespunde ecuației.

$$72=72$$

Înlocuiți x cu \frac{5-\sqrt{26}}{2} în ecuația 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} nu respectă ecuația.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{\sqrt{26}+5}{2} în ecuația 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} nu respectă ecuația.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Enumerați toate soluțiile ecuației 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$