Rezolvați 2x^2=19x-24

$$2 x ^ { 2 } = 19 x - 24$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 19x din ambele părți.

$$2x^{2}-19x=-24$$

Adăugați 24 la ambele părți.

$$2x^{2}-19x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-19 ab=2\times 24=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -19.

$$a=-16 b=-3$$

Rescrieți 2x^{2}-19x+24 ca \left(2x^{2}-16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Factor 2x în primul și -3 în al doilea grup.

$$2x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(2x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și 2x-3=0.

$$x=8 x=\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 19x din ambele părți.

$$2x^{2}-19x=-24$$

Adăugați 24 la ambele părți.

$$2x^{2}-19x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -19 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\times 24}}{2\times 2}$$

Ridicați -19 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\times 24}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\times 24}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 2}$$

Adunați 361 cu -192.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 2}$$

Opusul lui -19 este 19.

$$x=\frac{19±13}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{19±13}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±13}{4} atunci când ± este plus. Adunați 19 cu 13.

$$x=\frac{32}{4}$$

Împărțiți 32 la 4.

$$x=8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±13}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=8 x=\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 19x din ambele părți.

$$2x^{2}-19x=-24$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=-\frac{24}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=-\frac{24}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=-12$$

Împărțiți -\frac{19}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{19}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{19}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{19}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=-12+\frac{361}{16}$$

Adunați -12 cu \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{13}{4}$$

Adunați \frac{19}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=\frac{3}{2}$$