Rezolvați 2x^2=13x+7

$$2 x ^ { 2 } = 13 x + 7$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 13x din ambele părți.

$$2x^{2}-13x=7$$

Scădeți 7 din ambele părți.

$$2x^{2}-13x-7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-13 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -14.

$$1,-14 2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -13.

$$a=-14 b=1$$

Rescrieți 2x^{2}-13x-7 ca \left(2x^{2}-14x\right)+\left(x-7\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(x-7\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 2x^{2}-14x.

$$2x\left(x-7\right)+x-7$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și 2x+1=0.

$$x=7 x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 13x din ambele părți.

$$2x^{2}-13x=7$$

Scădeți 7 din ambele părți.

$$2x^{2}-13x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -13 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -7.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+56}}{2\times 2}$$

Adunați 169 cu 56.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±15}{2\times 2}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$x=\frac{13±15}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{13±15}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±15}{4} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu 15.

$$x=\frac{28}{4}$$

Împărțiți 28 la 4.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±15}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din 13.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 13x din ambele părți.

$$2x^{2}-13x=7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{7}{2}$$

Împărțiți -\frac{13}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{7}{2}+\frac{169}{16}$$

Adunați \frac{7}{2} cu \frac{169}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{225}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{15}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{15}{4}$$

Adunați \frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-\frac{1}{2}$$