Rezolvați 2x^2+x-5=2x+1

$$2 x ^ { 2 } + x - 5 = 2 x + 1$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 2x din ambele părți.

$$2x^{2}+x-5-2x=1$$

Combinați x cu -2x pentru a obține -x.

$$2x^{2}-x-5=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$2x^{2}-x-5-1=0$$

Scădeți 1 din -5 pentru a obține -6.

$$2x^{2}-x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-1 ab=2\left(-6\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -12 de produs.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-4 b=3$$

Rescrieți 2x^{2}-x-6 ca \left(2x^{2}-4x\right)+\left(3x-6\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(3x-6\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 3 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-2=0 și 2x+3=0.

$$x=2 x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 2x din ambele părți.

$$2x^{2}+x-5-2x=1$$

Combinați x cu -2x pentru a obține -x.

$$2x^{2}-x-5=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$2x^{2}-x-5-1=0$$

Scădeți 1 din -5 pentru a obține -6.

$$2x^{2}-x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -1 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{1±7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±7}{4} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 7.

$$x=\frac{8}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±7}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 1.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 2x din ambele părți.

$$2x^{2}+x-5-2x=1$$

Combinați x cu -2x pentru a obține -x.

$$2x^{2}-x-5=1$$

Adăugați 5 la ambele părți.

$$2x^{2}-x=1+5$$

Adunați 1 și 5 pentru a obține 6.

$$2x^{2}-x=6$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{6}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=3$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=3+\frac{1}{16}$$

Adunați 3 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{16}$$

Factorul x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{3}{2}$$