Rezolvați 2x^2+x-3=0

$$2 x ^ { 2 } + x - 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -6 de produs.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-2 b=3$$

Rescrieți 2x^{2}+x-3 ca \left(2x^{2}-2x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(3x-3\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 3 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-1=0 și 2x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-1±5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±5}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 5.

$$x=\frac{4}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±5}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -1.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$2x^{2}+x=3$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{3}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

Factorul x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{3}{2}$$