Rezolvați 2x^2+9x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4.608495283$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 9 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

Adunați 81 cu 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{89} din -9.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$2x^{2}+9x=1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți \frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{81}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

Factorul x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Scădeți \frac{9}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$