Rezolvați 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -8 de produs.

$$-1,8 -2,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-1 b=8$$

Rescrieți 2x^{2}+7x-4 ca \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-1=0 și x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 7 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Adunați 49 cu 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±9}{4} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±9}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Împărțiți \frac{7}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Adunați 2 cu \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Factorul x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Scădeți \frac{7}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$