Rezolvați 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 10.

$$1,10 2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+10=11 2+5=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=2 b=5$$

Rescrieți 2x^{2}+7x+5 ca \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Scoateți termenul comun x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+1=0 și 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 7 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Adunați 49 cu -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±3}{4} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±3}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Împărțiți \frac{7}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Adunați -\frac{5}{2} cu \frac{49}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Scădeți \frac{7}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$