Rezolvați 2x^2+5x-12=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -24 de produs.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-3 b=8$$

Rescrieți 2x^{2}+5x-12 ca \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-3=0 și x+4=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±11}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 11.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±11}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -5.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 0.

$$2x^{2}+5x=12$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Adunați 6 cu \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Factorul x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$