Rezolvați 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-90. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-12 b=15$$

Rescrieți 2x^{2}+3x-90 ca \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Factor 2x în primul și 15 în al doilea grup.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 3 și c cu -90 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±27}{4} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Împărțiți 24 la 4.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±27}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 27 din -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Adunați 90 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Scăderea -90 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Scădeți -90 din 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Împărțiți 90 la 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Împărțiți \frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Adunați 45 cu \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Scădeți \frac{3}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$