Rezolvați 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -40 de produs.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-5 b=8$$

Rescrieți 2x^{2}+3x-20 ca \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-5=0 și x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 3 și c cu -20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±13}{4} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±13}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Adunați 20 la ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Scăderea -20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Scădeți -20 din 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Împărțiți 20 la 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Împărțiți \frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Adunați 10 cu \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Factorul x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Scădeți \frac{3}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$