Rezolvați 2x^2+2x=5

$$2 x ^ { 2 } + 2 x = 5$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{11} - 1}{2} \approx 1,158312395$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}\approx -2,158312395$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+2x=5$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+2x-5=5-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+2x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 2 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+40}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu 40.

$$x=\frac{-2±\sqrt{44}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 44.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-2}{4}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{11} la 4.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{11}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{11} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-2}{4}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{11} la 4.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x=5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{5}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{5}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x^{2}+x=\frac{5}{2}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{11}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{11}-1}{2}$$