Rezolvați 2x^2+2x+2=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+2x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 2 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu -16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -12.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{3}i}{4}$$

Împărțiți -2+2i\sqrt{3} la 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{3} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-2}{4}$$

Împărțiți -2-2i\sqrt{3} la 4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+2x+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+2x=-2$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{2}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$x^{2}+x=-1$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$