Rezolvați 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 2 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Adunați 4 cu -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2i}{4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Împărțiți -2+2i la 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2i din -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Împărțiți -2-2i la 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$