Rezolvați 2x^2+14x-4=-x^2+3x

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Combinați 14x cu -3x pentru a obține 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-1 b=12$$

Rescrieți 3x^{2}+11x-4 ca \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-1=0 și x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Combinați 14x cu -3x pentru a obține 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 11 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

Adunați 121 cu 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±13}{6} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 13.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±13}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -11.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Împărțiți -24 la 6.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Combinați 14x cu -3x pentru a obține 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Adăugați 4 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$3x^{2}+11x=4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

Împărțiți \frac{11}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Adunați \frac{4}{3} cu \frac{121}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Scădeți \frac{11}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$