Rezolvați 2x^2+11x+15

$$2 x ^ { 2 } + 11 x + 15$$

Descompunere în factori

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=2\times 15=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=5 b=6$$

Rescrieți 2x^{2}+11x+15 ca \left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right).

$$\left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(2x+5\right)+3\left(2x+5\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+11x+15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 15}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 2}$$

Adunați 121 cu -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-11±1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±1}{4} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±1}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Împărțiți -12 la 4.

$$x=-3$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{5}{2} și x_{2} cu -3.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x+3\right)$$

Adunați \frac{5}{2} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$2x^{2}+11x+15=2\times \frac{2x+5}{2}\left(x+3\right)$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 2 și 2.

$$2x^{2}+11x+15=\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

Evaluați

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$