Rezolvați 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2y din ambele părți.

$$2x-2y=14$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 5x la ambele părți.

$$3y+5x=3$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x-2y=14$$

Adunați 2y la ambele părți ale ecuației.

$$2x=2y+14$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 14+2y.

$$x=y+7$$

Înlocuiți x cu y+7 în cealaltă ecuație, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Înmulțiți 5 cu y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Adunați 5y cu 3y.

$$8y+35=3$$

Scădeți 35 din ambele părți ale ecuației.

$$8y=-32$$

Se împart ambele părți la 8.

$$y=-4$$

Înlocuiți y cu -4 în x=y+7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-4+7$$

Adunați 7 cu -4.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=-4$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2y din ambele părți.

$$2x-2y=14$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 5x la ambele părți.

$$3y+5x=3$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=3,y=-4$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Scădeți 2y din ambele părți.

$$2x-2y=14$$

Luați în considerare a doua ecuație. Adăugați 5x la ambele părți.

$$3y+5x=3$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Pentru a egala 2x și 5x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 5 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Simplificați.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Scădeți pe 10x+6y=6 din 10x-10y=70 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Adunați 10x cu -10x. Termenii 10x și -10x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-10y-6y=70-6$$

Adunați -10y cu -6y.

$$-16y=70-6$$

Adunați 70 cu -6.

$$-16y=64$$

Se împart ambele părți la -16.

$$y=-4$$

Înlocuiți y cu -4 în 5x+3y=3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Înmulțiți 3 cu -4.

$$5x-12=3$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$5x=15$$

Se împart ambele părți la 5.

$$x=3$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=3,y=-4$$