Rezolvați 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+y=1$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-y+1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{-y+1}{2} în cealaltă ecuație, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Adunați -\frac{y}{2} cu -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{3}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Înmulțiți -\frac{1}{2} cu 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} cu -\frac{3}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=3$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-1,y=3$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Pentru a egala 2x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Simplificați.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Scădeți pe 2x-2y=-8 din 2x+y=1 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Adunați 2x cu -2x. Termenii 2x și -2x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$y+2y=1+8$$

Adunați y cu 2y.

$$3y=1+8$$

Adunați 1 cu 8.

$$3y=9$$

Se împart ambele părți la 3.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x-y=-4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x-3=-4$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=3$$