Rezolvați 2x+4x^2=10

$$2 x + 4 x ^ { 2 } = 10$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+2x=10$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+2x-10=10-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+2x-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 2 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -10.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+160}}{2\times 4}$$

Adunați 4 cu 160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{164}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 164.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{41}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{41}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{41}.

$$x=\frac{2\sqrt{41}-2}{8}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{41} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{41}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{41} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}-2}{8}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{41} la 8.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x=10$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{10}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$