Rezolvați 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$2x+3y=6$$

Scădeți 3y din ambele părți ale ecuației.

$$2x=-3y+6$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{2} cu -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Înlocuiți x cu -\frac{3y}{2}+3 în cealaltă ecuație, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Înmulțiți 6 cu -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Adunați -9y cu -5y.

$$-14y+18=4$$

Scădeți 18 din ambele părți ale ecuației.

$$-14y=-14$$

Se împart ambele părți la -14.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în x=-\frac{3}{2}y+3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Adunați 3 cu -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Pentru a egala 2x și 6x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 6 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Simplificați.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Scădeți pe 12x-10y=8 din 12x+18y=36 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Adunați 12x cu -12x. Termenii 12x și -12x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$18y+10y=36-8$$

Adunați 18y cu 10y.

$$28y=36-8$$

Adunați 36 cu -8.

$$28y=28$$

Se împart ambele părți la 28.

$$y=1$$

Înlocuiți y cu 1 în 6x-5y=4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$6x-5=4$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$6x=9$$

Se împart ambele părți la 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$