Rezolvați 2w^2+w-1275=0

$$2 w ^ { 2 } + w - 1275 = 0$$

Rezolvați pentru w

$$w = -\frac{51}{2} = -25\frac{1}{2} = -25,5$$

$$w=25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2w^{2}+aw+bw-1275. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-1275\right)=-2550$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -2550.

$$-1,2550 -2,1275 -3,850 -5,510 -6,425 -10,255 -15,170 -17,150 -25,102 -30,85 -34,75 -50,51$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+2550=2549 -2+1275=1273 -3+850=847 -5+510=505 -6+425=419 -10+255=245 -15+170=155 -17+150=133 -25+102=77 -30+85=55 -34+75=41 -50+51=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-50 b=51$$

Rescrieți 2w^{2}+w-1275 ca \left(2w^{2}-50w\right)+\left(51w-1275\right).

$$\left(2w^{2}-50w\right)+\left(51w-1275\right)$$

Factor 2w în primul și 51 în al doilea grup.

$$2w\left(w-25\right)+51\left(w-25\right)$$

Scoateți termenul comun w-25 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(w-25\right)\left(2w+51\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați w-25=0 și 2w+51=0.

$$w=25 w=-\frac{51}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2w^{2}+w-1275=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -1275 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1275\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1275\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1275\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -1275.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1+10200}}{2\times 2}$$

Adunați 1 cu 10200.

$$w=\frac{-1±\sqrt{10201}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 10201.

$$w=\frac{-1±101}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$w=\frac{-1±101}{4}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{-1±101}{4} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 101.

$$w=\frac{100}{4}$$

Împărțiți 100 la 4.

$$w=25$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{-1±101}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 101 din -1.

$$w=-\frac{102}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-102}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$w=-\frac{51}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$w=25 w=-\frac{51}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2w^{2}+w-1275=0$$

Adunați 1275 la ambele părți ale ecuației.

$$2w^{2}+w-1275-\left(-1275\right)=-\left(-1275\right)$$

Scăderea -1275 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2w^{2}+w=-\left(-1275\right)$$

Scădeți -1275 din 0.

$$2w^{2}+w=1275$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2w^{2}+w}{2}=\frac{1275}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w=\frac{1275}{2}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1275}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w+\frac{1}{16}=\frac{1275}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{1275}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w+\frac{1}{16}=\frac{10201}{16}$$

Factor w^{2}+\frac{1}{2}w+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{10201}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(w+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{16}}$$

Simplificați.

$$w+\frac{1}{4}=\frac{101}{4} w+\frac{1}{4}=-\frac{101}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$w=25 w=-\frac{51}{2}$$