Rezolvați 2t^2-7t-7=0

$$2 t ^ { 2 } - 7 t - 7 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{\sqrt{105} + 7}{4} \approx 4,311737691$$

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}\approx -0,811737691$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -7 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+56}}{2\times 2}$$

Adunați 49 cu 56.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{7±\sqrt{105}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{105}.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{7±\sqrt{105}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{105} din 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$2t^{2}-7t-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2t^{2}-7t=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$2t^{2}-7t=7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2t^{2}-7t}{2}=\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t=\frac{7}{2}$$

Împărțiți -\frac{7}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{7}{2}+\frac{49}{16}$$

Adunați \frac{7}{2} cu \frac{49}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{105}{16}$$

Factor t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} t-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Adunați \frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$