Rezolvați 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2t^{2}+at+bt-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-6 b=3$$

Rescrieți 2t^{2}-3t-9 ca \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Factor 2t în primul și 3 în al doilea grup.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Scoateți termenul comun t-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-3=0 și 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -3 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{3±9}{4} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$t=3$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{3±9}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați \frac{9}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$