Rezolvați 2t^2-3t+1=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t + 1 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=\frac{1}{2}=0,5$$

$$t=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2t^{2}+at+bt+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-2 b=-1$$

Rescrieți 2t^{2}-3t+1 ca \left(2t^{2}-2t\right)+\left(-t+1\right).

$$\left(2t^{2}-2t\right)+\left(-t+1\right)$$

Factor 2t în primul și -1 în al doilea grup.

$$2t\left(t-1\right)-\left(t-1\right)$$

Scoateți termenul comun t-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-1\right)\left(2t-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-1=0 și 2t-1=0.

$$t=1 t=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2t^{2}-3t+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -3 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu -8.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\times 2}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$t=\frac{3±1}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$t=\frac{3±1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{3±1}{4} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 1.

$$t=\frac{4}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$t=1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{3±1}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 3.

$$t=\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$t=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=1 t=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$2t^{2}-3t+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2t^{2}-3t=-1$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=-\frac{1}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Factor t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$t=1 t=\frac{1}{2}$$