Rezolvați 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Rezolvați pentru r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2r^{2}+ar+br+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 4.

$$1,4 2,2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+4=5 2+2=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=1 b=4$$

Rescrieți 2r^{2}+5r+2 ca \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Factor r în primul și 2 în al doilea grup.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Scoateți termenul comun 2r+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2r+1=0 și r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-5±3}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-5±3}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Împărțiți -8 la 4.

$$r=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Împărțiți -2 la 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Adunați -1 cu \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplificați.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$